\chapter{预备知识}

\section{基础公设}

整个量子力学的数学理论可以建立于五个基础公设。这些公设不能被严格推导出来的，而是从实验结果仔细分析
归纳总结而得到的。从这五个公设，可以推导出整个量子力学。假若量子力学的理论结果不符合实验结果，
则必须将这些基础公设加以修改，直到没有任何不符合之处。至今为止，量子力学已被实验核对至极高准确度，
还没有找到任何与理论不符合的实验结果，虽然有些理论很难直觉地用经典物理的概念来理解，例如，波粒
二象性、量子纠缠等等\parencite{zurek2014quantum,cohen2013claude,zettili2003quantum}。

\begin{enumerate}
  \item 量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由希尔伯特空间 $\hilbertH$ 中的态矢量
    $\ket{\psi}$ 来设定，这态矢量完备地给出了这量子系统的所有信息。这公设意味着量子系统遵守%
    \emph{态叠加原理}，假若 $\ket*{\psi_1}$、$\ket*{\psi_2}$ 属于希尔伯特空间 $\hilbertH$，则
    $c_1\ket*{\psi_1} + c_2\ket*{\psi_2}$ 也属于希尔伯特空间 $\hilbertH$。
  \item 时间演化公设： 态矢量为 $\ket{\psi(t)}$ 的量子系统，其动力学演化可以用薛定谔方程表示：
    \begin{equation}
      \ii\hbar \pdv{t} \ket{\psi(t)} = \hat{H} \ket{\psi(t)}.
    \end{equation}
    其中，哈密顿算符 $\hat{H}$ 对应于量子系统的总能量，$\hbar$ 是约化普朗克常数。根据薛定谔方程，
    假设时间从 $t_0$ 变化到 $t$，则态矢量从 $\ket*{\psi(t_0)}$ 演化到 $\ket{\psi(t)}$，该过程以
    方程表示为
    \begin{equation}
      \ket{\psi(t)} = \hat{U}(t,\,t_0) \ket*{\psi(t_0)}.
    \end{equation}
    其中 $\hat{U}(t,\,t_0) = \ee^{-\ii\hat{H}(t-t_0) / \hbar}$ 是时间演化算符。
  \item 可观察量公设：每个可观察量 $A$ 都有其对应的厄米算符 $\hat{A}$，而算符 $\hat{A}$ 的所有
    本征矢量共同组成一个完备基底。
  \item 坍缩公设：对于量子系统测量某个可观察量 $A$ 的过程，可以数学表示为将对应的厄米算符
    $\hat{A}$ 作用于量子系统的态矢量 $\ket{\psi}$，测量值只能为厄米算符 $\hat{A}$ 的本征值。
    在测量后，假设测量值为 $a_i$，则量子系统的量子态立刻会坍缩为对应于本征值 $a_i$ 的本征态
    $\ket*{e_i}$。
  \item 波恩公设：对于这测量，获得本征值 $a_i$ 的概率为量子态 $\ket{\psi}$ 处于本征态 $\ket*{e_i}$
    的概率幅的绝对值平方。\footnote{%
      使用可观察量 $A$ 的基底 $\qty{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n}$，量子态 $\ket{\psi}$ 可以表示为
      $\ket{\psi} = \sum_j c_j \ket*{e_j}$，其中 $c_j$ 是量子态 $\ket{\psi}$ 处于本征态
      $\ket*{e_j}$ 的概率幅。根据波恩定则，对于此次测量，获得本征值 $a_i$ 的概率为
      $\abs*{\ip*{e_i}{\psi}}^2 = \abs*{c_i}^2$。}
\end{enumerate}
